\section{附录\thesection: 无限维向量空间}\label{00E}


\begin{frame}{无限维向量空间}
无限维向量空间最明显的例子是无限实向量构成的空间
  \[
    \bR^\infty\coloneq \left\{ (a_n)_{n\geqslant 1}=(a_1,a_2,\cdots)\mid a_n\in \bR, \forall n\right\}
  \]
 可以把它想成是实数序列的空间。$\bR^\infty$有许多重要的序列构成的子空间，比如：
 \begin{enumerate}
   \item 收敛序列：$C\coloneq\{(a_n)\in \bR^{\infty}\mid \lim_{n\rightarrow \infty}a_n\text{~存在}\}$.
   \item 有界序列：$\ell^\infty\coloneq \{(a_n)\in \bR^{\infty}\mid (a_n)\text{~有界}\}$. 这里，序列$(a_n)$称为\emph{有界} (bounded)，若存在$c\in \bR$使得所有的$a_n$满足$|a_n|\leqslant c$.
   \item 绝对收敛级数：$\ell^1\coloneq \{(a_n)\in \bR^\infty\mid \sum_{n=1}^\infty |a_n|<\infty\}$.
   \item 有限项非零的序列：$\{(a_n)\in \bR^\infty\mid \text{几乎所有的（即除有限项之外的）$a_n$为$0$}\}$.
 \end{enumerate}
所有这些空间都是无限维的，还容易找到更多的$\bR^\infty$的无限维子空间。形式多项式环与形式幂级数环作为向量空间也是无限维的。
\end{frame}

\begin{frame}
现在设$V$是向量空间，不必有限维。
无限向量组$S$的生成（即包含$S$中元素的最小的子空间）是什么呢？
与有限集的情形一样，有限个元素$v_1, v_2, \cdots, v_k\in S$的线性组合包含在$S$的生成中。当我们把所有$S$中元素的有限线性组合$\sum_{i=1}^k a_i v_i$ (其中$v_1, \cdots, v_k$是任意的有限个元素，$k$可以任意大）放在一起时我们已然得到一个子空间。所以我们定义$S$的\emph{生成}为
  \[
    \Span S\coloneq \{\text{$S$中元素的有限线性组合}\}=\{\sum_{i=1}^k a_i v_i \mid v_i\in S, a_i\in \bF, k\geqslant 1\}.
  \]

  \begin{example}
      令$e_i=(0,\cdots,0,1,0,\cdots)\in \bR^\infty$是第$i$分量为$1$其余为$0$的无限向量。
      $S=(e_1,e_2,\cdots)$不能生成整个$\bR^\infty$, 因为$w=(1,1,1,\cdots)$不是这些$e_i$的有限线性组合。
      $S$生成的是有限项非零的序列构成的子空间。
  \end{example}


  $V$中向量组$S$, 有限或无限，称为（线性）\emph{无关} (linearly independent)，若它只有平凡的有限关系
(我们只考虑有限的线性关系，毕竟我们压根没定义无限和是什么)，
  即对任意的正整数$k$和$v_1, v_2,\cdots, v_k\in S$, $\sum_{i=1}^k a_i v_i=0$蕴含了所有的$a_i=0$. 
  无关组中不能有相同的向量，且无关组在任意的排序下仍然为无关组。
  引理~\ref{linearly-independent-add-vector}~对无限的向量组也成立。
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}\label{065}
    设 $\bF$ 是域，由例~\ref{vector-space-examples}\ref{Map(S,F)}~我们知所有的 $\bF$ 到 $\bF$ 的映射的集合$\Map(\bF, \bF)$有 $\bF$-向量空间结构。
考虑 $\bF$ 上的多项式函数 
\[
    x^i\colon \bF \rightarrow \bF, \quad a \mapsto a^i,\qquad i\geqslant 0,
\]
其中 $x^0$ 指取常值$1$的映射，亦记为$1$（注意这个$1$不是指恒等映射）。那么
\begin{enumerate}
  \item $\bF$ 是无限域时，$1, x, x^2, x^3, \cdots$ 在 $\bF$ 上线性无关；
  \item  $\bF$ 是有限域时，$1, x, x^2, x^3, \cdots$ 在 $\bF$ 上线性相关。
\end{enumerate}
我们在注记~\ref{vandermonde-polynomial-function-linearly-independent}~中证明过(i). 
(ii)成立是因为对有限域$\bF$有零函数$\prod_{a\in \bF}(x-a)=0$.\footnote{若 $\bF_q$ 是有 $q$ 个元素的有限域，对任意的 $a \in \bF_q$ 有 $a^q = a$, 所以$x^q-x$是零函数（而且在$\bF_q[x]$中我们有$x^q-x=\prod_{a\in \bF}(x-a)$）。
这个我们会在近世代数中学到。
其中，$\bF = \bF_p = \ZZ/p\ZZ$ ($p$ 是素数) 的情形我们已经在定理~\ref{Fermat-little-theorem}~中证过了。
另外，实际上$\bF_q$上的多项式函数构成的环作为映射~\eqref{polynomial-formal-polynomial-function}~的像同构于$\bF_q[x]/(x^q-x)$.}
特别地，线性映射
\begin{equation}\label{106}
  \bF[x]\rightarrow \Map(\bF, \bF),\quad a_nx^n+\cdots+a_0\mapsto a_nx^n+\cdots+a_0
  \end{equation}
在$\bF$无限时是单射，而在$\bF$有限时不是单射。这样你大概能相信在无限域上形式多项式与多项式函数的区别不是本质的。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{definition}
    向量空间$V$的（有序）\emph{基} (basis) 定义为生成$V$且线性无关的向量组。
\end{definition}
比如$1,x,x^2,\cdots$构成形式多项式环$\bF[x]$的一组基。
应用Zorn引理或选择公理可以证明向量空间的基总存在。无限维空间的基可能很大。
比如$\bR^\infty$没有可数基，我们没法显式地写出来一组基。
不过，有时一组好的基可以让我们更好地计算，更方便地提取组合的信息。
另外，我们也可谈无序基。

\begin{theorem}
  向量空间都有一组基。
  \label{1AD}
\end{theorem}
\end{frame}

%\begin{frame}
%
%我们回到有限维向量空间$V$的情形，我们问：会不会有无限的基？
%我们在命题~\ref{basis-same-order}~中证明了有限基有相同多的元素。
%下面我们证明有限维向量空间的基都有限。尽管从无关性的角度这是显然的（$n$维向量空间中$n+1$个向量总相关），
%为了画面的完整性，我们从生成的角度出发。
%
%\begin{lemma}
%    设$V$是有限维向量空间，向量组$S$生成$V$. 那么$S$包含有限子集生成$V$.
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    存在$V$中有限向量组$(u_1, \cdots, u_m)$生成$V$. 
%    由于$S$生成$V$, 每个$u_i$是$S$中有限个元素的线性组合。
%    这些涉及到的$S$中向量构成$S$的有限子集，且显然生成$V$.
%\end{proof}
%
%\begin{corollary}
%设$V$是有限维向量空间，那么
%\begin{enumerate}
%    \item 每组基都有限；
%    \item 每个生成$V$的向量组都包含一组基；
%    \item 每个无关组$L$都有限，且可延拓为一组基。
%\end{enumerate}
%
%\end{corollary}
%
%
%\end{frame}

